روش مونت کارلو

[donya88]

روشهای مونت کارلو یک دسته از الگوریتمهای محاسباتی هستند که بر اساس تکرار تصادفی نمونه برداری برای محاسبهٔ نتایج هستند.روشهای مونت کارلو همچنین در زمان شبیه سازی سیستمهای فیزیکی و ریاضیاتی نیز استفاده میشوند.به دلیل اتکای این روش به تکرار محاسبات و اعداد تصادفی و اعداد شبه تصادفی، مناسب برای محاسبه توسط کامپیوتر است.روشهای مونت کارلو معمولا زمانی استفاده میشوند که امکان محاسبهٔ نتیجهٔ دقیق با یک الگوریتم قطعی(Deterministic Algorithm) نباشد. اصطلاح مونت کارلو در سال ۱۹۴۰ توسط فعالیتهای فیزیکدانان بر روی پروژهٔ بمب اتمی در آزمایشگاه بین المللی لس آلاموس مطرح شد.

خلاصه
روشهای مونت کارلوی منحصر به فرد وجود ندارند مگر، عباراتی که دستهای از دیدگاههای بزرگ و پراستفاده را مطرح میکند.هر چند این دیدگاهها گرایش به دنبال کردن الگوی خاصی دارند:

• تعریف دامنهٔ ورودیهای ممکن
• تولید ورودیهای تصادفی از دامنه، و اجرای یک عملیات قطعی بر روی آنها
• جمع بندی نتایج حاصل از تک تک محاسبات در نتیجهٔ نهایی

برای مثال مقدار عددπ را میتوان با روش مونت کارلو به صورت تقریبی به دست آورد.مربعی به مساحت ۱ رسم کنید و سپس دایرهای در آن محاط کنید، حال اشیای کوچکی را روی آن پراکنده کنید(مثل دانههای برنج یا شن)، اگر اشیا به صورت یکنواخت پراکنده شده باشند آنگاه نسبت اشیای داخل دایره به اشیای داخل مربع تقریبا بایدπ/۴ باشد، که نسبت مساحت دایره به مساحت مربع است. بنابراین اگر ما تعداد اشیای داخل دایره را، ضرب در ۴، وتقسیم بر تعداد اشیای داخل مربع بکنیم، مقدار تقریبی π به دست میآید.
توجه داشته باشیم که سه گام اشاره شده در بالا در این مثال همانطور که میبینیم اجرا شدهاست.

تاریخچه
مونتکارلو (در فرانسوی: Monte-Carlo) نام منطقهای است بسیار مشهور در کشور خودمختار موناکو واقع در اروپای غربی. جمعیت ساکن در مونتکارلو در حدود ۳۰۰۰ نفر را شامل میشود. منطقه مونتکارلو، ثروتمندترین منطقه از کشور خودمختار موناکو است.[۱]


نام «مونتکارلو»
ریشه نام «مونتکارلو» از زبان ایتالیایی است و به اصلیت اسم شاهزاده کارلو سوم از موناکو بر میگردد که زیر نفوذ و حمایت دربار ایتالیا قرار داشت. تا قبل از سال ۱۸۶۱ که موناکو به شکلی خودمختار درآمد، زبان رسمی ایتالیایی بود، اما در یکصد سال گذشته، زبان رسمی به فرانسوی تغییر داده شد.[۲]

استنلی اولام، انریکو فرمی و جان فون نیومن شهرت فراوان یافت. این اسم مبدایی به یک کازینو ای در موناکو است که عموی اولام برای قمار پول قرض میکردهاست.تصادفی بودن و تکرار طبیعی فرایندها مشابه فعالیتهای در کازینوها است. نام «مونت کارلو» توسط تحقیقات فیزیکدانانی چون
روشهای تصادفی برای محاسبه و آزمایش (که عموما به عنوان شبیه سازی تصادفی شناخته میشوند) را بدون تردید میتوان تا اولین پیشگامان نظریه احتمال دنبال کرد (سوزن بافون، کار جزیی روی نمونهها توسط ویلیام گوست)، ولی به طور ویژه میتوان آن را در دوران قبل از محاسبات الکترونیکی دنبال کرد.تفاوت اساسی که معمولا دربارهٔ روش شبیه سازی مونت کارلو بیان میشود این است که به طور اصولی نوع روش شبیه سازی را وارون میکند و نظر مسایل را با یافتن مدل مشابه احتمالی به خود جلب میکند. روشهای پیشین برای شبیه سازی و مدل سازی آماری عموما عکس این کار را انجام میدادند :استفاده از شبیه سازی برای امتحان کردن مسایل مشخص قطعی.
به هر حال همان طور که میدانیم مثالهای دیدگاه «وارون»به صورت تاریخی نیز وجود دارند، آنها تا قبل از امدن روش مونت کارلو به عنوان یک روش عمومی در نظر گرفته نمیشدند.
شاید معروفترین استفادهٔ اخیر از این روش توسط انریکو فرمی در سال۱۹۳۰ باشد، هنگامی که او از یک روش تصادفی برای دستیابی به خواص نوترون تازه کشف شده، استفاده کرد.همچنین روشهای مونت کارلو مرکزیت شبیه سازی مورد نیاز در پروژهٔ منهتن را داشتند اگرچه که در آن زمان در استفاده از ابزارهای محاسباتی در محدودیت جدی قرار داشتند. بنابراین مونت کارلو در زمانی مورد مطالعه و بررسی توسط دانشمندان قرار گرفت که کامپیوترهای الکترونیکی برای اولین بار پا به عرصه گذاشتند.(از سال ۱۹۴۵ تا امروز)
در ۱۹۵۰ در لوس آلاموس برای تحقیقات جدیدی که دربارهٔ بمبهای هیدروژنی آغاز شده بود مورد استفاده قرار گرفت و در رشتههای فیزیک و شیمی فیزیک و تحقیق در عملیات مشهور شد.
شرکت رند(Rand) و نیروی هوایی ایالات متحده دو سازمان مرتبط برای جمع آوری و ارسال اطلاعات دربارهٔ روشهای مونت کارلو در طول این زمان بودهاست، و کاربردهای گستردهٔ این روش را یافتهاند.
استفاده از روش مونت کارلو نیاز به استفادهٔ مقادیر زیادی اعداد تصادفی دارد و این استفاده باعث کنار رفتن و عدم گسترش زایندههای اعداد شبه تصادفی بود.

کاربرد ها
شبیه سازی مونت کارلو به طور ویژهای در مطالعهٔ سیستمها با درجه آزادی زوج متعدد مورد استفاده قرار میگیرد مثل مایعات، مواد متخلخل، مایعات شدیدا زوج و ساختارهای حفره دار(مانند ساختار حفره دار پات). روشهای مونت کارلو به صورت وسیعی در مدل سازی پدیدهها با مقادیر قابل توجهی عدم اطمینان در ورودیها مورد استفاده قرار میگیرد مثل:
محاسبهٔ ریسک در تجارت (نمونه کاربرد آن در اقتصاد، مدل سازی تصادفی است)استفادهٔ کلاسیک از این روشها برای ارزیابی و محاسبهٔ انتگرالهای معین، به طور خاص برای انتگرالهای چند بعدی باشد با شرایط مرزی پیچیده، استفاده میشود.
روشهای مونت کارلو همچنین برای محاسبهٔ ارزش سرمایه شرکتها، ارزیابی سرمایهٔ پروژهها نیز استفاده میشود.
همچنین روشهای مونت کارلو در فیزیک محاسباتی، شیمی فیزیک و زمینههای مرتبط با این دو کاربرد فراوان دارد.
مونت کارلو علاوه بر این، تحت تاثیر بسزای خود را در حل معادله دیفرانسیلهای زوج انتگرالی در زمینهٔ تشعشعانتقال انرژی ثابت کردهاست پس بنا براین این روش برای آشکار سازی جهانی محاسبات که مدلهای مجازی سه بعدی تصاویر فوتوریالیستیک را تولید میکند، مورد استفاده قرار میگیرد. و
روشهای مونت کارلو در زمینههای بسیاری نیز در ریاضیات محاسباتی مورد استفاده قرار میگیرد، که فقط یک خوش شانس میتواند نتیجهٔ صحیح بگیرد. یک مثال کلاسیک، الگوریتم رابین است که برای آزمایش اول بودن اعداد مورد استفاده قرار میگیرد.
همچنین الگوریتم لاس وگاس نیز به همین موضوع میپردازد ولی با ایدهای متفاوت.

زمینههای کاربرد مونت کارلو

• گرافیک، به طور خاص خط اثر پرتو
• مدل سازی جا به جایی نور در رشتههای بیولوژیک
• مونت کارلو در اقتصاد
• مهندسی اطمینان
• در شبیه سازی پیچش برای پیش بینی ساختار پروتین
• در تخقیقات تجهیزات نیم رسانا، برای مدل سازی جا به جایی حاملهای کنونی
• در محیط زیست، بررسی آلایندهها
• کاربرد مونت کارلو در فیزیک استاتیک
• در طراحی احتمالاتی برای شبیه سازی و درک تغییرپذیری
• در شیمی فیزیک، به طور خاص برای شبیه سازی قالبهای اتمهای درگیر
• در علوم کامپیوتر:
  • الگوریتم لاس وگاس
  • LURCH
  • Computer Go
  • بازیها
• کاربردهای گسترده در فیزیک هستهای

 

[donya88]

کاربرد روش مونت کارلو در فاینانس

کاربرد روش مونت کارلو در فاینانس

روش های مونت کارلو روش هایی است که کمیتی را با استفاده از تخمین امید یک یا چند متغیر تصادفی «مجازی» محاسبه می کند. استفاده از لغت «مجازی» تاکید بر این نکته است که متغیرهای تصادفی به کار رفته لزوما مفهوم عملی خاصی ندارند. مثلا در روش مونت کارلو برای تخمین قیمت یک قرارداد در فایننس، ممکن است از متغیرهایی استفاده کنید که هیچ مفهوم اقتصادی یا فایننسی ندارند. اما لزومی ندارد که همیشه این طور باشد. گاهی هم متغیر تصادفی به کار رفته متناظر با کمیتی با مفهوم است. تاکید ما بر این است که لزومی ندارد متغیرهای تصادفی به کار رفته، مفهومی داشته باشند. مثلا تخمین میانگین یک مجموعه از داده ی یک بعدی به هیچ وجه روش مونت کارلو به حساب نمی آید؛ مثلا قد افرادی را از یک جامعه اندازه می گیریم و می خواهیم از روی آن میانگین قد در جامعه را حساب کنیم. در حالی که استفاده از یک مجموعه از داده های توام برای محاسبه ی میانگین یکی از آن ها را می توان روش مونت کارلو نامید. مثلا می دانیم که قد و وزن با هم همبستگی دارند. اگر داده ای متشکل از زوج قد و وزن داشته باشیم، می توانیم به استفاده از همبستگی این دو، میانگین قد جامعه را دقیق تر محاسبه کنیم. این دومی را می توان با مقداری اغماض یک روش مونت کارلو نامید. (گر چه شاید به دلیل واقعی بودن داده ها، می تواند بحث برانگیز باشد.)
اگر روش مثال بالا را مونت کارلو بدانیم، بسیاری از روش های مونت کارلو مانند روش بالایی نیستند و متغیرهای به کار رفته در آن ها نه داده واقعی هستند و نه کمیتی را توصیف می کنند. متغیرهای به کار رفته گاهی از مدل تصادفی که استفاده کردیم نشات می گیرند. اما لزومی ندارد که این طور باشد. بیشتر روش های مونت کارلو از شبیه سازی متغیرهای تصادفی استفاده می کنند و نه از داده های گرفته شده از یک جامعه ی آماری. شبیه سازی متغیرهای تصادفی استفاده از کامپیوتر برای تولید اعدادی است که از نظر آماری مستقل و هم توزیع با توزیع خاصی هستند، البته نه به این کلیت. گاهی دنباله ای از اعداد که خواص ذکر شده را ندارند، به تخمین دقیق تری منجر می شوند. هدف اصلی درست بودن تخمین است و نه مستقل بودن اعداد تولید شده.
روش های مونت کارلو در فایننس اولین بار توسط فلیم بویل در 1977 در مقاله ی مشهور

Phelim Boyle, Options: A Monte Carlo Approach, Journal of Financial Economics (1977) 323-338
​

پیشنهاد شد. بسیاری از روش هایی که در این مقاله و پس از آن استفاده شد، روش هایی تازه نبود، بلکه استفاده از آن در فایننس کاری جدید به حساب می آمد. فلیم پس از آن هم کارهای زیادی در این زمینه انجام داد. یک کتاب خوب در این زمینه کتاب
Paul Glasseman, Monte Carlo methods in financial engineering (2003), Springer
است. این کتاب بسیار جامع و حاوی مطالب فراوان است. بیشتر کتاب مرجع است تا یک کتاب درسی. با وجود این که خود من مطالب زیادی از این کتاب آموختم، اما به عنوان یک کتاب مختصر و مفید آن را توصیه نمی کنم. اگر فرانسه بلد باشید، جزوه ی درسی زیر را برای مطالعه و آشنایی با روش های مونت کارلو در فایننس توصیه می کنم.
Bruno Bouchard, Méthodes de Monte Carlo en Finance
روش های دیگری که در فایننس غیر از روش مونت کارلو استفاده می شود، روش های عددی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی است؛ مثل تفاضلات متناهی یا اجزاء متناهی. هر کدام به نوبه ی خود مزایا و مضراتی دارند. مثلا شاید اگر بخواهید یک اختیار اروپایی خرید (مارکف) را روی یک دارایی قیمت گذاری کنید، بهتر است از روش عددی برای حل معادلات استفاده کنید تا روش مونت کارلو. حال آن که با افزایش تعداد دارایی ها، روش های عددی معادلاتی قابل پیاده سازی نخواهند بود و عملا روش مونت کارلو خود را تحمیل می کند. اگر اختیار خرید امریکایی یا اختیار پس نگر (Look Back Option) و یا اختیار مانع دار (Barrier Option) داشته باشیم، هرگز نمی توان از روش عددی معادلاتی استفاده کرد. چرا که خاصیت مارکفی از دست می رود. در مورد قراردادهای نام برده شده، باز هم روش مونت کارلو تنها راه قیمت گذاری است؛ به جز موارد خاص که فرمول تحلیلی به دست می آید. حتی زمانی که بخش زیادی از کار به شکل تحلیلی انجام می شود، آخر سر یک مونت کارلوی ساده استفاده می شود. در غیر این صورت، روش های مونت کارلوی پیچیده تری به کار می آیند.
روش های مونت کارلو عمدتا بر مبنای محاسبه ی امید ریاضی هستند؛ نکته ای اساسی که باعث تنوع فراوان در روش های مونت کارلو می شود. بسته به بعد مساله، تخمین گر مناسب برای محاسبه ی امید ریاضی متفاوت خواهد بود. عمدتا روش هایی که امروز به کار می رود، برمبنای استفاده از تخمین گر های آماری معمول به علاوه ی روش های کاهش واریانس برمبنای نمونه گیری ترجیحی (Importance sampling) یا متغیر کنترل (Control variate) و یا پادمسیرها (Antithetic paths) است. گاهی هم روش های پیچیده تر مانند رگرسیون غیرخطی، روش های کرنل و حسابان ملیاوان بهتر جواب می دهند.

در آخر لیستی از مراجعی که می توانند خواننده را در یادگیری این روش ها کمک کند، ارائه می کنم.​

​

F. Longstaff and E. Schwartz: Valuing American options by simulation: A simple least-squares, Review of Financial Studies, 1(14), 113-147, 2001.

E. Fournier, J.-M. Lasry, J. Lebuchoux, P.-L. Lions and N. Touzi: Applications of Malliavin calculus to Monte Carlo methods in finance, Finance and Stochastics, 3, 391-412, 1999.


E. Fournier, J.-M. Lasry, J. Lebuchoux and P.-L. Lions: Applications of Malliavin calculus to Monte Carlo methods in finance II, Finance and Stochastics, 5, 201-236, 2001.
G. Pag es, H. Pham, J. Printems: Optimal quantization methods and applications to numerical problems in finance, Handbook on Numerical Methods in Finance (S. Rachev, ed.), Birkhauser, Boston, 253-298, 2004.
E. Gobet: Revisiting the Greeks for European and American options, Proceedings of the "International Symposium on Stochastic Processes and Mathematical Finance" at Ritsumeikan University, Kusatsu, Japan, 2003.
B. Bouchard, I. Ekeland and N. Touzi: On the Malliavin approach to Monte Carlo approximation of conditional
expectations, Finance and Stochastics, 8(1), 45-71, 2004.
Bruno Bouchard a and Xavier Warin: Monte-Carlo valorisation of American options: facts and new algorithms to improve existing methods, Preprint.
وبلاگ شخصی اکبر زواری